有限元模型中的异常红点：奇异点的产生

一、什么是奇异点（Singularity）

在有限元分析中，我们常常会遇到这样一种情况：

在模型无法收敛时，我们有时会尝试细化网格，期望计算结果能够趋于稳定。

然而，有时我们会发现，无论如何细化网格，在某些特定位置，如拐角处，细化网格的场都无法收敛，不会趋于稳定。

这种在有限元分析计算时，在某些方面表现出无限大特性的点，就称为奇异点。

在固体力学中，奇点往往表现为异常高的应力峰值；在电磁场中，会表现出异常的电流密度；在流体力学中，奇异点可能会表现为速度、压力等物理量趋于无限。

二、示例

奇点常常出现在尖锐的内角、应力集中的点和线、以及材料突变的位置。

以结构力学为例，对包含尖角的几个模型采用自适应网格细化功能，会发现随着网格的细化，应力表现出无限制的增大，而不会趋于稳定。

这种现象在现实物理世界中是不存在的，而是有限元法本身固有的特点所导致的。

有限元法本身是一种近似计算方法，在尖角处，可能无法真实反映连续介质的应力分布，从而产生奇异性。

三、常见解决方式

1、添加圆角：在建模过程中尽量避免产生尖锐的内角，可以通过给几何模型添加圆角，使锋利的尖角变得圆滑，避免产生奇异点。

2、积分：在电磁学中，可以采用积分的方式求解，对包含奇异性的区域进行积分，可以弱化边界奇异点的问题。这种方式可以无需修改模型的几何结构，改善数值稳定性。

3、忽略奇异点：在许多工程问题中，奇异点仅影响局部区域，对整体结果并不会造成明显影响。因此，可以在避开奇异点的位置进行求解，忽视奇异点的存在。在固体力学中，可以使用圣维南原理获得原理载荷施加位置和约束边界的可靠应力分布结果。