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2023-11-20 17:58

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下图33-1的(1)所示为简单rlc串联交流电路。若给该电路通以直流电,由于电容元件的隔断直流的作用,该电路中是没有电流流过的。但给它通以正弦交流电时,根据我们上次所学的内容,该电路除了会有电阻外,还会有感抗和容抗的存在。这里的电阻、电感和电容之间的关系又是怎样的呢?



图33-1


首先,在同一交流电路中,各电气量的角频率ω(频率f)都是相同的,这在之前我们学习正弦量的时候已经提过。回顾上一次的学习内容,在r、l、c的各个单一参数交流电路中,流过电阻元件的电流与电阻元件两端的电压同相;流过电感元件的电流滞后于电感元件两端的电压90°;流过电容元件的电流超前于电容元件两端的电压90°,感抗xl=ωl,即u=ixl,且容抗xc=1/ωc,即u=ixc,结合已知条件:电流的瞬时值表达式和相量式,我们就可以推理出rlc串联交流电路的电压和电流关系。

  如上图33-1的(2)瞬时值表达式和(3)相量式。在图33-1的(2)式中,计算变换过程大家看看即可,由电压u的瞬时值表达式中,我们可以看到,rlc串联交流电路的电压等于各个元件两端电压瞬时值的代数之和,而不是有效值的简单相加,还要考虑相位关系。

同理,图33-1的(3)相量式更为直观,从电压的相量式中,我们可以看到,其虚部(即乘以90°旋转因子部分)是感抗和容抗的差,这是因为感抗和容抗两者上的电压方向相反,一个滞后电流90°,一个超前电流90°,相互抵消。


根据图33-1(3)的电压相量式,即电压相量等于电流相量乘以某定值(频率不变)的这种表达式,定义阻抗z(又称复阻抗),如下图33-2所示,它是由电路参数决定。


图33-2

  图33-2(2)所示的阻抗,定义为电压与电流的比值,常用z表示,单位是欧姆(Ω)。阻抗也是一个复数,其实部称为电阻r,虚部称为电抗x,这在上一次的学习中也有所提及。这里要提醒的一点是,阻抗不是相量,这是因为相量是正弦量的表示形式,而阻抗不是正弦量,所以阻抗符号z上面不能像电压相量、电流相量那样在上面加点。

  根据阻抗的定义,从电压相量除以电流相量的值中,可以发现,阻抗的模(大小)为电压有效值u与电流有效值i的比值,而辐角为电压u与电流i的相位差。根据感抗与容抗的定义、角频率与频率的关系,可得阻抗的集中表达式,如图33-2(3)所示,这几种表达式在电路分析中都比较常用,所有大家很有必要熟记。



图33-3


阻抗由电阻和感抗、容抗组成,当电路中没有电感元件时,显然,电路中也就不会有感抗,即此时阻抗中只有电阻和容抗;同理,当电路中没有电容元件时,显然,电路中也就不会有容抗,即此时阻抗中只有电阻和感抗。

另外,阻抗既然是一个复数,那么它显然可以在复平面上表示,如图33-3所示。根据阻抗在复平面上的表示,可以看到,其电阻、电抗与阻抗组成一个三角形,这就是大家平常所说的阻抗三角形,图示的阻抗三角形中感抗大于容抗,即x=xl-xc>0,此时的辐角大于零。阻抗模就是上文所说的电压有效值u与电流有效值i的比值,阻抗角为电压u与电流i的相位差。

显然,阻抗、电阻、电抗和阻抗角之间可以用三角函数进行转化和计算,例如阻抗角可以用电阻和电抗的反正切函数关系求得,已知阻抗值的情况下用余弦函数和正弦函数求得电阻和电抗,如图33-3所示。


电抗为感抗与容抗的差,即x=xl-xc,结合阻抗三角形,可以得到以下电路参数与电路性质的关系如图33-4所示。



图33-4


  根据图33-4中内容,当感抗与容抗的差不同时,电路会呈现不同的性质,相角也会随之变化。当感抗大于容抗时,电路呈感性,此时阻抗角大于零,即电路中电压超前电流;当容抗大于感抗时,电路呈容性,此时阻抗角小于零,即电路中电压滞后电流;而当感抗等于容抗时,两者大小相等方向相反,电抗为零,此时电路呈阻性,电压与电流同相。

  实际工作中的电容补偿,其依据其实就是电路中感抗和容抗的不同关系,例如在感性负载(如交流电动机)的交流电路中,此时电压超前电流,为了减小电压与电流之间的相角(即功率因数角),可以在电路中适当接入电容器,以抵消电路中的部分感抗,使得阻抗角变小,提高有功功率。


当补偿后电路依然呈感性,这种补偿方式称为欠补偿;当完全补偿时,即补偿后电路依然呈阻性,这种补偿方式称为全补偿;当补偿后电路依然呈容性,这种补偿方式称为过补偿。

  在rlc串联交流电路中,当以电流相量为参考相量时,各元件的电压是由该元件的参数(电阻、电感、电容)所决定的,包括其数值和相角。所以,结合阻抗三角形和电压电流关系,可以画出电压三角形如下图33-5所示。



图33-5

  根据图33-5所示可以发现,电压三角形的相角其实和阻抗角相等,这是因为在交流电路中,根据图33-2中阻抗的定义,电流相角已知的情况下,电压相角就是由电路参数(即电阻、电感和电容)所决定。

  结合我们之前所学的相量运算,当感抗大于容抗时,如图33-5(2)所示,电阻电压相量、电感电压相量与电容电压相量相加,各元件电压相量首尾相连,此时电压与电流的相角大于零,电路呈感性,同理可以得到电路呈容性时的电压三角形如图33-5(3)所示。

  在上一次学习了单一参数交流电路时,我们知道了电阻元件在交流电路中总是消耗电能的,而电感元件和电容元件是储能元件,它们不消耗电能,只是和电源进行能量的交换。举一反三,在rlc串联交流电路中,因为同时存在电阻、电感和电容,所以电路在是在消耗电能的同时,还进行着能量的交换。此时,该rlc串联交流电路的功率关系如下图33-6所示。



图33-6

  图33-6的各个功率计算过程大家可以不管,只需记得终结果即可。在图33-6(1)所示的瞬时功率表达式中,其两个相加项有着不同的含义,左边部分的值总是大于零,代表了耗能元件上的瞬时功率;

  而右边部分有大于零和小于零两种情况,代表了储能元件上的瞬时功率。也就是说,在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。

  根据图33-6(2)所示的平均功率表达式,平均功率(又称有功功率)p为电压与电流乘积的余弦值,其中cosφ称为功率因数,它是用来衡量负载对电源的利用程度。结合上次所学的无功功率知识,得rlc串联交流电路无功功率为图33-6(3)所示,其中(xl-xc)表明电感和电容与电源之间的能量互换。



图33-7

  根据电压三角形,把电阻电压有效值乘以电流有效值即为有功功率的值,它是总电压与总电流有效值乘积的余弦值;

  同理,把电抗电压有效值乘以电流有效值即为无功功率的值,它是总电压与总电流有效值乘积的正弦值。根据有功功率和无功功率的这种三角函数关系,定义视在功率s如下图33-8所示,它是电路中总电压与总电流有效值的乘积,用符号s表示,单位是伏安(va)。


图33-8

  和阻抗三角形一样,有功功率、无功功率与视在功率在复平面上也可以组成功率三角形。显然,视在功率也不能用相量表示,因为它不是正弦量。比较阻抗三角形、电压三角形和功率三角形,可以发现,它们之间是由关联的,即将电压三角形的有效值同除电流有效值,就可以得到阻抗三角形;将电压三角形的有效值同乘电流有效值,就可以得到功率三角形。

  在电路中,电阻、电感和电容都可以进行串并联,而由电阻、电感和电容组成的阻抗显然也可以进行串并联。我们这次就先学习阻抗的串联,下次再学习阻抗的并联。



图33-9


  电阻的串联是将各电阻直接相加得到等效总电阻,流过各个电阻的电流一样,各个电阻上的电压之和为总电压......阻抗的串联其实和电阻的串联很相似,也是将各个串联阻抗相加得到等效总阻抗,如图33-9(1)所示。


  不同的是,阻抗的相加并不是简单的数值相加,而是复数的运算,如图33-9(2)所示,;两个阻抗相加,分别将其实部与实部相加得到电阻部分的值,虚部与虚部相加得到电抗部分的值。


  阻抗串联交流电路中,各个阻抗对总电压也有分压作用,但是此时的分压是相量的运算,如图33-9(3)所示。



图33-10

  将图33-9(1)式进行推广,得到多阻抗串联电路的一般式,如上图33-10所示。显然,多阻抗串联电路的等效变换理解起来并不难,但是其实际的计算相对麻烦,因为其中涉及到数值与角度相互关联。

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